人工智能 - 文章资讯 - 9k导航_AI工具导航_程序员资源大全

首页 / 文章资讯 / 人工智能

波音737客机遭鸟击客舱玻璃开裂！现场画面公布

李斌称蔚来首次季度盈利只是起点：行业竞争是马拉松，短期不刻意追求利润最大化

宁德时代曾毓群个人分红81亿抵过10家车企利润

贬低小米汽车称180天造的车不敢开高管回应无济于事：宝马女销售态度更嚣张了

你买的全新iPhone 屏幕可能早被人偷偷换走了

国际油价暴跌创2022年以来单日最大跌幅：国内油价是否下调 3月23日见分晓

胖东来8633名普通员工人均分20万被称良心老板！于东来：死后不办仪式骨灰找河流撒完

雷军：小米 YU7 汽车 2 月份销量位列全国乘用车销量前三，不论能源形式，不论车型

一男子高速开启智驾后呼呼大睡了一百多公里：致多车连环追尾

荣耀Magic V6评测——折叠大满贯重树体验新标杆

MTools：一款免费开源的全能桌面应用程序，集成图片处理、音视频编辑、AI 智能工具、开发辅助等功能，支持跨平台GPU加速

《帝国时代3：racism版》Kuomintang版 - 最新资源分享

人工智能分类文章

共 4 篇

全国政协十四届四次会议闭幕习近平等出席

全国政协十四届四次会议闭幕 习近平李强赵乐际蔡奇丁薛祥李希韩正出席 王沪宁发表讲话 <img src="//q1.itc.cn/images01/20260311/b9e0f0c55b5e49c6bcdbc1496c73989b.jpeg" alt=""> 3月11日上午，中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第四次会议在北京人民大会堂闭幕。这是习近平、李强、赵乐际、蔡奇、丁薛祥、李希、韩正在主席台就座。 中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第四次会议圆满完成各项议程，11日上午在人民大会堂闭幕。会议号召，人民政协各参加单位和广大政协委员要更加紧密地团结在以习近平同志为核心的中共中央周围，勠力同心、勇毅前行，坚定不移走中国特色社会主义道路，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业作出新的更大贡献。 <img src="//q1.itc.cn/images01/20260311/bcea8d16759d475481d45112bbb5a135.jpeg" alt=""> 3月11日上午，中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第四次会议在北京人民大会堂闭幕。 会议由全国政协主席王沪宁主持。全国政协副主席石泰峰、胡春华、沈跃跃、王勇、周强、帕巴拉·格列朗杰、何厚铧、梁振英、巴特尔、苏辉、邵鸿、高云龙、穆虹、咸辉、王东峰、姜信治、蒋作君、何报翔、王光谦、秦博勇、朱永新、杨震在主席台前排就座。 展开全文 习近平、李强、赵乐际、蔡奇、丁薛祥、李希、韩正等在主席台就座。 上午9时，闭幕会开始。王沪宁宣布，中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第四次会议应出席委员2125人，实到2059人，符合规定人数。 会议通过了政协第十四届全国委员会第四次会议关于常务委员会工作报告的决议、政协第十四届全国委员会第四次会议关于政协十四届三次会议以来提案工作情况报告的决议、政协第十四届全国委员会提案委员会关于政协十四届四次会议提案审查情况的报告、政协第十四届全国委员会第四次会议政治决议。 王沪宁在讲话中说，全国政协十四届四次会议是一次高举旗帜、凝心聚力、求实奋进、风清气正的大会，生动展现了广大政协委员为国履职、为民尽责的责任担当，充分彰显了社会主义协商民主的独特优势和生机活力。中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平等党和国家领导同志出席大会开幕会和闭幕会，看望政协委员并参加联组讨论，同政协委员们共商国是。全体政协委员认真讨论政府工作报告、“十五五”规划纲要草案和其他报告，认真审议政协常委会工作报告和提案工作情况报告等文件，取得丰硕成果。全体政协委员充分认识过去一年和“十四五”时期极不寻常、极不平凡的发展历程以及来之不易、殊为珍贵的发展成就，决心为新时代新征程推进中国式现代化、不断续写经济快速发展和社会长期稳定两大奇迹新篇章作出更大贡献。 王沪宁表示，2026年是“十五五”开局之年，中国共产党正带领亿万人民满怀信心行进在中国式现代化新征程上。人民政协要立足自身性质定位和职责使命，坚持中国共产党的领导，加强理论武装，更好发挥人民政协的政治组织作用、更好发挥人民政协的建言资政作用、更好发挥人民政协的凝心聚力作用，为“十五五”开好局、起好步广泛凝聚人心、凝聚共识、凝聚智慧、凝聚力量。把服务和助力“十五五”规划实施作为履职主线，贯穿政治协商、民主监督、参政议政各项工作之中，聚焦经济社会发展中的重大问题深化前瞻性研究和战略性思考，努力做到察形势之变、识问题之要、谋管用之策。坚持人民政协为人民，多建利民之言，多做惠民之事，推动现代化建设成果造福全体人民，广泛汇聚海内外中华儿女奋进新征程、建功新时代的强大正能量。 王沪宁表示，让我们更加紧密地团结在以习近平同志为核心的中共中央周围，勠力同心、拼搏进取，为全面推进社会主义现代化强国建设而不懈奋斗。 出席闭幕会的领导同志还有：王毅、尹力、刘国中、李干杰、李书磊、李鸿忠、何立峰、陈文清、陈吉宁、陈敏尔、袁家军、黄坤明、刘金国、王小洪、张升民、王东明、肖捷、郑建邦、丁仲礼、蔡达峰、何维、武维华、铁凝、彭清华、张庆伟、洛桑江村、雪克来提·扎克尔、吴政隆、谌贻琴、张军、应勇等。 中共中央、全国人大常委会、国务院有关部门负责同志列席闭幕会。外国驻华使节、海外华侨等应邀参加闭幕会。 大会在雄壮的国歌声中闭幕。 试画中画播放视频

人工智能 2026-03-11 0 7

中国有多少变种“龙虾”？

<blockquote> 文｜数据猿 </blockquote> 文｜数据猿 ““虾”战2026：阿里“卖铲”、小米“养宠”，谁在瓜分OpenClaw的万亿红利？ 近日，深圳腾讯大楼下，排队的人群蜿蜒数百米，不是为了领取开工利是，而是为了免费安装一只“龙虾”。与此同时，Meta高管的邮箱被同一只“龙虾”狂删数百封邮件，直到物理拔掉电源才得以幸免。 这只名为OpenClaw的“红色小龙虾”，正在以最戏剧性的方式接管2026年的科技叙事。 <img src="https://q7.itc.cn/q_70/images03/20260311/0b58db8a2515423896dd112cdecb4402.png"> 如果你现在还认为AI只能停留在对话框里陪你聊天、帮你写诗，那你就彻底“out”了。OpenClaw的爆火，源于一个简单的颠覆：它让AI长出了“手脚”。 这只图标为红色龙虾的开源智能体，不再满足于“动嘴建议”，而是直接接管用户的电脑权限，亲自“动手干活”。它可以帮你整理几个G的发票、盯盘炒股、甚至在社交媒体上发帖赚钱。 为什么它会火？因为它解决了AI落地“最后一公里”的痛点。在过去，大模型像个纸上谈兵的军师，说得头头是道却什么也做不了。而OpenClaw变成了那个能24小时值班、任劳任怨的“数字员工”。对于被繁琐文书和重复点击折磨的现代职场人来说，任何“画饼”的工具都比不上一个能直接替你“复制粘贴”的工具来得更实在。 由于原版OpenClaw部署极其复杂，需要配置Python环境、获取API Key等等，让普通小白望而却步，但这并不妨碍它在国内引发一场轰轰烈烈的“养殖业革命”。短短数周，从互联网巨头到AI新贵，纷纷下场推出了各种口味的“变种龙虾”。 乱炖“龙虾”：“卖铲子”、“卖饲料”和“卖成品虾” 国内的科技公司从不缺乏嗅觉，更不缺乏速度。面对OpenClaw点燃的这把火，不同派系的玩家基于自身的基因，迅速分化出了三条截然不同的赛道。 展开全文 第一类是“卖铲子”的公司。典型代表是阿里云和腾讯云。在“养虾热”中，它们不直接养虾，而是卖“虾塘”和“铲子”。由于原版OpenClaw本地部署对普通人极不友好，这些云厂商迅速推出了“一键部署”的云端镜像。 ·阿里云的思路是“全家桶式”的闭环。它推出了对标OpenClaw的CoPaw个人智能体工作台，主打“三条命令极简部署”，并深度绑定通义千问和钉钉生态。在阿里云看来，OpenClaw是吸引开发者和企业上云的“最佳诱饵”。 ·腾讯云则更擅长利用流量。它在轻量服务器中预置OpenClaw模板，打通了企业微信、QQ和飞书。毕竟，无论是C端用户还是中小B端企业，都在腾讯的社交射程之内。 第二类是“卖饲料”的公司。也就是MiniMax、月之暗面（Kimi）等大模型独角兽。OpenClaw虽然能干，但它需要一颗强大的“大脑”来思考，每干一次活都要消耗海量的token（算力计量单位）。对于这些模型厂商来说，OpenClaw简直是天降财神。 ·月之暗面反应最快，率先推出KimiClaw，主打云端托管，降低部署门槛，凭借Kimi K2.5模型对OpenClaw的快速适配，在OpenRouter平台上的调用量持续领先。 ·MiniMax则强调其多模态能力均衡以及底层训推架构的解耦能力，推出的MaxClaw模式一键打通OpenClaw生态，无需自行配置API。在一项长链路办公任务实测中，接入MiniMax模型的OpenClaw实现了100%全流程闭环执行。 第三类是“卖成品虾”的公司。目前最引人注目的是小米。如果说前两类玩家还在卖原料和工具，小米则直接想把煮熟的、调好味的“龙虾”端到用户面前。 小米近日发布的Xiaomi miclaw被雷军戏称为“手机龙虾”。这不再是需要用户自己去配置的极客玩具，而是深度融合在手机系统里的AI交互产品。当你对手机说“半小时后带朋友回家，给家里准备一下”，它能自动拆解指令，计算时间，并联动米家设备把灯光、空调、窗帘全部调好。它不依赖模拟点击这种“外挂”方式，而是通过系统级权限和Intent机制调用应用，在安全性和流畅度上做了极大优化。 至此，“龙虾”已不再是那个单一的海外开源项目，而是演变成了一场由不同派系共同烹制的饕餮盛宴。 原版与变种：不仅是口味差异，更是基因突变 同样是“龙虾”，Openclaw与国内的“变种龙虾”们，虽然都致力于让AI“动手干活“，但在血脉上已经出现了明显的分化。 “卖铲子”的产品与原版OpenClaw的关系像是“正规军收编游击队”。其相同点是技术内核一致，都旨在实现跨平台操作。不同点在于部署方式和生态“野心”。原版OpenClaw部署难度极高，甚至催生了“代安装”这门生意，而云厂商们将其简化成一键部署的模板，大大降低了门槛。但天下没有免费的午餐，云厂商们的目标是将用户留在自己的云生态里，用自家的算力和模型，形成从算力到场景的闭环。 而“卖饲料”的产品与原版OpenClaw的关系更像是“灵魂伴侣”。它们相同点是执行任务需要强大的推理能力，这正是Kimi、MiniMax的强项。而不同点在于商业模式。原版OpenClaw是开源且免费的，但“养”它需要用户自己去找模型API并付费。而“卖饲料”的公司直接把“大脑”和“身体”打包，甚至推出像MiniMax Coding Plan那样的固定月费套餐，降低了用户的决策成本。它们不仅是工具提供者，更是OpenClaw最大的受益者。 “手机龙虾”与原版的差异最大，堪称“从游牧民族到定居公民”的转变。相同点是都具备主动执行的能力，都能理解模糊指令。不同点则是全方位的：原版OpenClaw主要运行在PC端，拥有系统最高权限，但也带来了巨大的安全隐患。而小米miclaw运行在手机端，虽然是系统UID身份，但实行严格的三级权限分级，涉及支付、通讯录等高敏感行为每次都要弹窗确认，从设计上规避了财务风险。 因此，原版与变种，并不仅仅是“口味差异”，更是扬长避短的“本土化养殖”。 低门槛、高权限与成本的博弈 随着“变种龙虾”的普及，网络上的“养虾人”们开始呈现出悲喜两重天的情景。数据猿翻阅了大量网友“养虾”反馈后发现，无论“变种”如何，影响用户“养殖”和“使用体验”的核心因素，是三个维度的博弈，即：门槛、权限和成本。 “卖铲子”的方案降低了“安装”门槛，却把复杂度转移到了“使用”环节。云厂商们将原版OpenClaw封装为一键部署模板，保留了完整的系统级操作权限，能完成跨平台的复杂任务流。但高权限意味着高配置成本，它既包括技术配置能力的要求，也包括算力支出成本。有用户实测云端部署后仅执行3个任务就消耗约200元。真正用起来的反而是原本就有云资源的技术团队，普通用户大多尝鲜即止。 与云厂商不同的是，“卖饲料”的“变种龙虾”极大降低了部署门槛，让不懂代码的小白也能养虾。其优点是用户上手快，用户终于能让AI放开手脚干活了。但缺点也很明显，模型虽便宜，但高频使用时花费依然很高。有发烧友反映，傅盛那只最高配置的“虾”每月花费近3万元。 以小米miclaw为代表的“变种龙虾”，把安全提到了最高优先级。优点是极其安全，实行弹窗确认制度，绝不越雷池一步。但缺点也很明显，就是能力受限。由于不能像原版那样通过模拟点击为所欲为，只能通过官方API调用，它能做的事就被限制在了系统允许的范围内。 由此可见，影响“养虾”体验的关键三要素——低/无门槛、高权限、低成本——构成了一个“不可能三角”。目前的任何一款“变种龙虾”，都只能在这三者中取其二。 “龙虾”之后AI的终局是什么？ 在最近召开的全国“两会”上，人大代表和政协委员们也在热议这只“龙虾”。为什么一只“龙虾”能让整个科技圈为之癫狂？甚至让委员代表们在“两会”上热议？这背后其实是整个AI行业对商业模式的一次集体焦虑与集体释怀，具有里程碑式的意义。它首次让大模型从“纸上谈兵”的参谋，变成了“冲锋陷阵”的士兵。 <img src="https://q7.itc.cn/q_70/images03/20260311/6a5fc9eb9d2646b8b39db83a2d3476a0.png"> 在过去一年，虽然大模型能力突飞猛进，但质疑声从未停止：这东西除了聊天、写诗、生成PPT，到底能不能真正改变生产效率？能不能换成真金白银？ “龙虾”给出了答案，它让AI直接交付结果，而不是交付建议。 对于传统大型科技公司，这是争夺下一代流量入口的“诺曼底登陆”。互联网的本质是流量分发，过去入口是搜索引擎，是应用商店，是超级App。而在AI时代，入口就是那个能直接替你办事的智能体。谁掌握了它，谁就掌握了用户需求的第一落点。这就是典型的互联网思维：先通过极致的服务抢占用户心智和时长，为未来的生态布局打下基础。哪怕现在不赚钱，只要用户在，就有的是机会。 对于新兴的AI公司而言，“龙虾”的出现直接解了他们的燃眉之急。大模型训练贵，推理也贵，钱烧得哗哗响，收入却少得可怜。然而，OpenClaw这类智能体应用，是真正的“烧Token怪兽”，单次任务的Token消耗量从几百激增至数十万甚至上百万，使得大模型公司的收入暴增。对于这些AI新贵而言，“龙虾”不是概念，而是实打实的财务报表。 数据猿认为，OpenClaw不一定是AI发展的终局形态，但它确实是一个关键的转折点。它证明了AI的商业化可以不是贩卖焦虑，也不是贩卖API，而是通过“数字员工”这种看得见摸得着的形式，直接向用户收取“工资”。 与此同时，OpenClaw也让所有从业者看清了一个现实：未来或许不再有单纯的“大模型公司”，也不再有单纯的“互联网公司”，它们都将成为“智能体运营公司”，比拼的不再是模型的参数大小，而是谁能养出最聪明、最听话、最能干、最省钱的“数字员工”。 这场由一只“红色小龙虾”引发的产业海啸，才刚刚开始。而我们每个人的电脑里，或许很快就会有一个“工位”，属于那个24小时待命的“AI伙伴”。

人工智能 2026-03-11 0 8

量子力学中的基函数展开《张朝阳的物理课》数学物理杂谈

量子力学中有哪些“基底”？自由粒子又是如何在空间中运动的？如何对连续取值或无限区域上的物理量做展开？如何将复杂的中心力场散射问题进行分解分析？ 3月8日12时30分，《张朝阳物理课》第二百七十七期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳继续“横切”物理中的数学，从一维和三维自由粒子的平面波入手，讲解了动量算符的本征态、平面波的正交归一性，以及它们如何构成自由粒子态空间的基底，并拓展至中心力场下的粒子，解释了角动量平方算符和z方向角动量算符在力学量完全集中的作用，并通过球谐函数和球贝塞尔函数展示了波函数在角向和径向的展开方式。 函数空间中的一组基函数 回顾上次物理课，我们对弦振动的波动方程进行双傅里叶展开。我们选用了函数空间中一组基函数 <img src="//q6.itc.cn/q_70/images01/20260311/1985d402718547b0b8570a8146f4367c.png" alt="1.png"> 作为空间部分的展开。当弦的边界条件限制在有限区域时，基函数中的kn将被量子化，使得n取整数值。通过直接积分，我们也证明了这组函数基的正交归一性： <img src="//q9.itc.cn/q_70/images01/20260311/b5e8909e2f344c63a05ebfab6f7235ae.png" alt="2.png"> 有了正交归一的性质，我们便能很方便地求得波动方程的解在此基下的展开系数。 展开全文 <img src="//q0.itc.cn/q_70/images01/20260311/1e760bf1cc554fca88f6279a153fbaf5.png" alt="3.png"> 自由粒子的基函数 上述基函数其实就是一组本征函数。对于一个矩阵或者二阶张量，我们将其对角化的过程等价于寻找该矩阵的本征矢并将其作为基矢展开。本征矢满足如下本征方程， <img src="//q3.itc.cn/q_70/images01/20260311/5aeb17949a054f07a0e41b3f05f30cc5.png" alt="4.png"> 矩阵T对其本征矢V的作用使得V在线性空间中的方向不变，但模长乘以常数倍。在量子力学中，矩阵对应于希尔伯特空间中的算符，本征函数就是对应于算符的本征态(eigenstate)。 考虑一维自由粒子，动量算符为 <img src="//q9.itc.cn/q_70/images01/20260311/cc64e4fd885d4cc7880eda5082dae92c.png" alt="5.png"> 其本征函数对应于自由粒子的波函数。我们可以将自由粒子的动量与波函数 <img src="//q1.itc.cn/q_70/images01/20260311/dab075a827c34c70b07b69392c15d0a9.png" alt="6.png"> 带入动量算符的本征方程，显式地验证： <img src="//q6.itc.cn/q_70/images01/20260311/94e45016ef5246d99db98aed028cc227.png" alt="7.png"> <img src="//q7.itc.cn/q_70/images01/20260311/8e5ea53c2ca04e7a881880b1cd325656.png" alt="8.png"> 与上述弦振动的本征函数不同，动量算符的本征函数与本征值可连续取值。这反映了自由粒子不受限于有限空间区域的特点，其波函数呈现为无限延伸的平面波形式。那么自由粒子的波函数应如何定义正交归一关系呢？量子力学引入了复数，因此内积的定义中需要引入复共轭。对于任意一组正交归一的基函数我们定义 <img src="//q8.itc.cn/q_70/images01/20260311/274f974590b04200ac4d671cd1963be2.png" alt="9.png"> 其中，方程右侧为狄拉克(Dirac)函数，其定义为 <img src="//q0.itc.cn/q_70/images01/20260311/4005c1faf0484549b812d87d50d78951.png" alt="10.png"> 狄拉克函数应该理解为广义函数或一种分布，仅在积分之内才有实质意义。对任意函数与狄拉克函数做积分，我们有： <img src="//q7.itc.cn/q_70/images01/20260311/52fc3674230b411c8afa354d3590b0bf.png" alt="11.png"> 利用狄拉克函数的傅里叶变换 <img src="//q8.itc.cn/q_70/images01/20260311/759198f4b0e94b1391d3fcb3d03bf00f.png" alt="12.png"> 我们可以验证自由粒子的波函数的正交性， <img src="//q6.itc.cn/q_70/images01/20260311/ed30e75daa44401080fc162c14e847b4.png" alt="13.png"> 其中，系数2π可以吸收进平面波函数的定义之中使其归一化。当然，我们也可以直接对该广义积分进行验证 <img src="//q4.itc.cn/q_70/images01/20260311/a0aea992772c46e0b3fdf033da76dab4.png" alt="14.png"> 最后一个等式右边在对p积分才有意义。当我们对p(或者等价的k-k')积分时，积分可以转化为一个经典的sin(x)/x的积分（其积分值为π）： <img src="//q9.itc.cn/q_70/images01/20260311/e27af5b494cd4051ad426bf9f2668cb1.png" alt="15.png"> 因此，对比上述狄拉克函数的性质，我们可以得到如上所述的自由粒子波函数的正交性的积分结果。有了一组线性独立的正交归一的基函数，自由空间的任何波函数都可以用平面波的波函数展开 <img src="//q3.itc.cn/q_70/images01/20260311/e495d2b12c9f4bc28a2069b831792fa7.png" alt="16.png"> 其展开系数就是波函数ψ的傅里叶变换。 三维空间的自由粒子的基函数展开 我们通过一维动量算符的本征态，认识了一类连续的基函数。那么对于三维空间中的自由粒子来讲，存在三个动量算符 <img src="//q2.itc.cn/q_70/images01/20260311/2569fc73d7694515af71b98c63884faa.png" alt="17.png"> 其坐标空间的具体形式为 <img src="//q1.itc.cn/q_70/images01/20260311/9f18dcf98643425292ef3214e89c7fb2.png" alt="18.png"> 对应的本征波函数为 <img src="//q1.itc.cn/q_70/images01/20260311/b14c027e82424aa6891788af327b501e.png" alt="19.png"> 这三个动量算符互相对易， <img src="//q8.itc.cn/q_70/images01/20260311/d325f37ee6c04705b21df1b418a4df37.png" alt="20.png"> 构成了一组力学量的完全集。系统的态空间可由三个动量算符本征态的张量积表示，任何量子态都可以在此基下展开为其本征态的线性组合。在坐标表象下，我们有 <img src="//q1.itc.cn/q_70/images01/20260311/0cd3f1911dda4a0786859a18fce0747f.png" alt="21.png"> 同时该波函数也满足矢量版本的本征方程 <img src="//q1.itc.cn/q_70/images01/20260311/b150cdb1c9da49fa9c58f2b064b93913.png" alt="22.png"> 其中 <img src="//q4.itc.cn/q_70/images01/20260311/48ddde08a4234f17b7c8051462cf9d5e.png" alt="23.png"> 自由粒子的能量算符(哈密顿量)为 <img src="//q7.itc.cn/q_70/images01/20260311/4406262433e34f558e6a7104273a0f47.png" alt="24.png"> 能量算符十分重要，它决定了力学量随时间的演化。而自由粒子的能量算符与三个方向的动量算符互相对易, <img src="//q0.itc.cn/q_70/images01/20260311/726aafee71ee45feb49da63bb694bcc7.png" alt="25.png"> 这意味着自由粒子的能量算符与动量算符存在一组共同本征态，使得能量算符和动量算符可以被同时对角化。动量算符构成了一组力学量完全集，使得能量算符的本征值由动量本征值决定。 中心力场下的基函数展开 但对于非自由粒子，例如，中心力场V(r)下的氢原子 <img src="//q6.itc.cn/q_70/images01/20260311/63fc5bf80a3f49dfb452b1ac3d5e62a6.png" alt="26.png"> 动量算符不再与能量算符对易，因此动量算符的本征态一般不再是哈密顿量的本征态。因此 <img src="//q4.itc.cn/q_70/images01/20260311/7b177c73be42411d9f1f206cf9c4854d.png" alt="27.png"> 不再是中心力场下能量算符的本征态。尽管任意波函数仍可以用该平面波进行展开，但此时能量算符在该基函数下不再是对角的。中心力场的一组力学量完全集由能量算符，角动量的平方算符，z方向的角动量算符构成 <img src="//q3.itc.cn/q_70/images01/20260311/536241e607dc4d56ba246baf8407cb40.png" alt="28.png"> 这三个力学量之间相互对易 <img src="//q3.itc.cn/q_70/images01/20260311/bfc78f151aa44780adc7777958a023be.png" alt="29.png"> 我们选择坐标空间中r，θ，ϕ作为坐标，利用分离变量法分离波函数对各坐标的依赖 <img src="//q2.itc.cn/q_70/images01/20260311/3d1ee898aeb54c01ad360a91dd7addc0.png" alt="30.png"> 并将这一组完备可对易力学量的本征方程写为 <img src="//q5.itc.cn/q_70/images01/20260311/e8888139387a4866a837d449e364bb22.png" alt="31.png"> 哈密顿量在坐标表象下的具体形式为 <img src="//q1.itc.cn/q_70/images01/20260311/aa622164f97e4a1d9468ec7981237c2d.png" alt="32.png"> 其中，能量算符中的拉普拉斯算符被分为径向和角向部分 <img src="//q8.itc.cn/q_70/images01/20260311/83501f878aed41a7af3f136c86d420db.png" alt="33.png"> <img src="//q4.itc.cn/q_70/images01/20260311/07c6d08b8141442e8a7b2e2be3700843.png" alt="34.png"> 角动量平方算符的具体形式为 <img src="//q8.itc.cn/q_70/images01/20260311/0f0471883c8946188c2e8da583adb0e6.png" alt="35.png"> 因而可得 <img src="//q4.itc.cn/q_70/images01/20260311/83ccde6c10914d5daee2bb944834053a.png" alt="36.png"> 求解Lz对应的本征方程，可知波函数对ϕ方向的依赖可以e^{imϕ}展开， <img src="//q1.itc.cn/q_70/images01/20260311/3b182da95aab445f940dddd5a924678a.png" alt="37.png"> 令x=cosθ,可得 <img src="//q4.itc.cn/q_70/images01/20260311/eef37be60695467099f4d2235445ffb4.png" alt="38.png"> 当磁量子数m=0，方程就退回到勒让德方程。若把角向的两个波函数合并在一起，则对应于我们熟知的球谐函数： <img src="//q2.itc.cn/q_70/images01/20260311/5cd5ccd6ea4f4460ad128137342b1be6.png" alt="39.png"> 因此只要是中心力场，角向部分的依赖均可用球谐函数展开。回到哈密顿量的本征方程，中心力场下的氢原子的波函数可以写作 <img src="//q7.itc.cn/q_70/images01/20260311/8ff98813fed14951ae41d58fb49268f0.png" alt="40.png"> 我们接着关注径向的部分 <img src="//q7.itc.cn/q_70/images01/20260311/cdd3de5cae4146bd9355b00b02b539a2.png" alt="41.png"> 令 <img src="//q4.itc.cn/q_70/images01/20260311/7b47782ff8fe410297f5adb2fec63f60.png" alt="42.png"> 并将部分系数吸收进V(r)中可得径向本征方程 <img src="//q5.itc.cn/q_70/images01/20260311/190847b3c5364de2b57722a769bb6a49.png" alt="43.png"> 我们考虑V(r)=0的情况，此时方程的解必然为平面波。对应于将平面在此由能量算符，角动量的平方算符，z方向的角动量算符构成的力学量完全集所对应的基函数展开。当系统偏离或扰动平面波时，同样也是基于这个力学量完全集对应的基函数做展开。因此通过计算平面波的例子，足够求解出不同展开基函数以及其性质。 进一步对自变量作比内(Binet)变换 y=rψ可得 <img src="//q4.itc.cn/q_70/images01/20260311/0212f8e53078426da9f89e2448968b76.png" alt="44.png"> 考虑l=0的情况，方程简化： <img src="//q7.itc.cn/q_70/images01/20260311/84af691a19534f2f9fa350752c8b9cb7.png" alt="45.png"> 容易求得其解为 <img src="//q5.itc.cn/q_70/images01/20260311/c5208b6c42f441c48c5e08e1d9436a5d.png" alt="46.png"> l=0的解表明，此时本征函数正是球面波。换句话说，平面波在这组基中被分离出了球面波。接着考虑一般的l不为0的情况，方程变为 <img src="//q1.itc.cn/q_70/images01/20260311/64e8d0e962074b26a913c4a840bb23f0.png" alt="47.png"> 其解就是标准的球贝塞尔函数(舍去物理上r=0发散的另一支解) <img src="//q4.itc.cn/q_70/images01/20260311/ce6fd56fc3694c3e86119645451f7e64.png" alt="48.png"> <img src="//q9.itc.cn/q_70/images01/20260311/6c845a938498472fbbca41e41f2e8489.png" alt="49.png"> 下面证明球贝塞尔函数的正交性 <img src="//q3.itc.cn/q_70/images01/20260311/93d317d812d145359a93b4377b8571ba.png" alt="50.png"> 我们写出两个相同角量子数l不同k的球贝塞尔函数满足的两个方程 <img src="//q8.itc.cn/q_70/images01/20260311/78873a1c192c4a7a86fdb465afe405a3.png" alt="51.png"> 分别乘以 ψ(k2 r) 和 ψ(k1 r)，相减并积分则有 <img src="//q5.itc.cn/q_70/images01/20260311/84753d36d58645eea5391341ebd2262a.png" alt="52.png"> 因而正交性的积分转化为 <img src="//q1.itc.cn/q_70/images01/20260311/842eb19ea76c43fa9a7ca16ceccbe15f.png" alt="53.png"> 等式右边来自于全导数积分变为边界项之差。 <img src="//q6.itc.cn/q_70/images01/20260311/6a98eec1c9014e7cbac9de33315bdcde.png" alt="54.png"> 对于r=0的值，回到球贝塞尔方程我们有 <img src="//q1.itc.cn/q_70/images01/20260311/831cf67529d54c218a1c3448bf5c2aa7.png" alt="55.png"> 因此易得积分下限为0。对于积分上限r为无穷的时，情况稍微复杂，且正交性中的狄拉克函数也来自于此。利用球贝塞尔函数的定义式 <img src="//q6.itc.cn/q_70/images01/20260311/bec5e1c3b33e451f991b34cea96a1588.png" alt="56.png"> 我们考虑r趋近无穷时衰减最慢的项，也即是上式导数算符只作用到三角函数上的情况。因此球贝塞尔函数jl的渐近行为可写为 <img src="//q5.itc.cn/q_70/images01/20260311/eee1a634052540fd9cb640f7350df2b5.png" alt="57.png"> 因此将此渐近行为带入边界项，利用积化和差公式，通过直接但冗长地计算可得 <img src="//q4.itc.cn/q_70/images01/20260311/9f018843643b44e8ae826d9734c44c6b.png" alt="58.png"> 该式显然在r趋于无穷时振荡不收敛，一般函数意义下并无定义，但在广义函数下有实质意义。类似于前文对平面波正交性的讨论，上式第一项在和其它函数积分的情况下会贡献出正比于狄拉克函数的项： <img src="//q1.itc.cn/q_70/images01/20260311/c498454adfcf4513a895fa1dd7bda819.png" alt="59.png"> 其中，我们利用了前文讨论过的广义函数分布意义下成立的等式， <img src="//q0.itc.cn/q_70/images01/20260311/7845161acf7744b795fa1a62d7374bbb.png" alt="60.png"> 考虑第二项，我们仅考虑k1，k2为正的情况，第二项则无奇异性产生，当与其它函数积分时，会发生高频振荡，使得积分正负抵消 <img src="//q6.itc.cn/q_70/images01/20260311/6669ecbfbd2e4295bc57f1b5386946b3.png" alt="61.png"> 因此，球贝塞尔函数的正交性可以写为 <img src="//q2.itc.cn/q_70/images01/20260311/254cbe721bc14ce99f88d2d36fe1cff6.png" alt="62.png"> 据了解，《张朝阳的物理课》于每周周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

人工智能 2026-03-11 0 22

油价持续攀升，白宫出面“安抚”

面对美国国内能源价格上涨压力，美国白宫发言人莱维特10日辩称，近期燃油价格上涨是“暂时的”，美国对伊朗动武“从长期看会带来更低的燃油价格”。<img src="//q5.itc.cn/q_70/images03/20260311/d0cec8c42a8147b6b422e7bad0df0d99.jpeg">这是3月9日在美国洛杉矶拍摄的一家加油站的油价标牌。新华社/法新受中东局势影响，国际油价近期大幅上涨，一度逼近每桶120美元。高油价导致美国国内燃油价格持续攀升。根据美国汽车协会数据，美国全国每加仑普通汽油均价近两周累计涨幅近20%。美国媒体认为，美国对伊朗动武推高全美油价，给特朗普政府带来压力。莱维特10日在记者会上试图安抚美国国内对高油价的担忧。她说：“请美国人民放心，近期石油和燃油价格上涨是暂时的。从长远来看，（美国对伊朗的）这次行动将带来更低的燃油价格。” <img src="//q7.itc.cn/q_70/images03/20260311/5f26e8310d004a2cae2d1f3802e18d94.jpeg">路透社和益普索集团最新民调显示，美国民众普遍不满高昂生活成本，对特朗普政府无法有效应对这个问题感到失望。

人工智能 2026-03-11 0 7